2D 기하학적 변환 (2D geometric transformation)

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변환(Transform)은 이미지를 다른 영역(domain)으로 바꾸어 표현하는 것을 의미합니다. 이 글은 특별히 2D 기하학적 변환에 대해서 언급합니다. 기하학적 변환의 종류는 다음과 같습니다.

• 이동(Translation)
• 크기 조정(Scaling)
• 반사 (Reflection, Flip)
• 회전(Rotation)
• 전단(밀림;Shear)

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대수식과 행렬을 사용하여 정리해보도록 하겠습니다. (기초적인 내용이라 잘 설명되어 있는 유튜브나 블로그가 많기 때문에, 자세한 설명은 생략합니다.)

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이동 (Translation)

\[Translate(a, b): (x, y) \rightarrow (x+a, y+b) \\ \\ \quad \\ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+a \\ y+b \end{bmatrix}\]

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크기 조정 (Scale)

\[Scale(a, b): (x, y)\rightarrow(ax, by) \\ \quad \\ \begin{bmatrix} a && 0 \\ 0 && b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax \\ by \end{bmatrix}\]

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반사 (Reflection, Flip)

\[Reflection_{x-axis}: $(x, y)\rightarrow(-x, y) \\ \\ \quad \\ \begin{bmatrix} -1 && 0 \\ 0 && 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x \\ y \end{bmatrix} \\\] \[Reflection_{y-axis}: $(x, y)\rightarrow(x, -y) \\ \quad \\ \begin{bmatrix} 1 && 0 \\ 0 && -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ -y \end{bmatrix}\]

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회전 (Rotation)

\[Rotate(\theta): (x, y) \rightarrow(x cos(\theta)+y sin(\theta), -x sin(\theta)+y cos(\theta)) \\ \quad \\ \begin{bmatrix} cos(\theta) && sin(\theta) \\ -sin(\theta) && cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x cos(\theta)+y sin(\theta) \\ -x sin(\theta) + y cos(\theta) \end{bmatrix}\]

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전단 (Share)

\[Share(a, b): (x, y)\rightarrow(x+ay, y+bx) \\ \quad \\ \begin{bmatrix} 1 && a \\ b && 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+ay \\ y+bx\end{bmatrix}\]

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